Tercero de los cuatro hijos del médico Manuel Gómez Campana y de María Teresa Angulo Ramón, tras estudiar en el Colegio de La Salle y en el Instituto de Enseñanza Media, se desplazó a Madrid para realizar la carrera universitaria de Ingeniero de Minas. Después de finalizar sus estudios en 1952, alcanzó el grado de Doctor y completó su formación diplomándose en Organización de Empresas y en Alta Dirección. Era también experto en economía de recursos minerales y energéticos.
Su trayectoria profesional estuvo vinculada a la Empresa Nacional ADARO de Investigaciones Mineras S.A. Así, entre 1956 y 1962, fue director de las minas de oro de Rodalquilar, de las minas de hierro de Serón y Beires, y de las canteras de mármol de Macael. A partir de 1962, una vez trasladado a Madrid, y de forma consecutiva, fue nombrado subgerente (1963), consejero (1968), consejero-gerente (1971) y presidente ejecutivo (1975) de ADARO. En este puesto se mantuvo hasta principios de 1983, en el que fue cesado, aunque permaneció ligado a la empresa en su calidad de Ingeniero hasta su jubilación en 1986. Como funcionario del Cuerpo de Ingenieros de Minas del Ministerio de Industria y Energía, fue director del Instituto Geológico y Minero de España (1968-71) y presidente de la Comisión Nacional de Geología (1969-75), formando también parte de los comités interministeriales para el estudio de aguas (Mallorca, Sureste y Guadalquivir). Asimismo, fue consejero de un gran número de empresas (Hunosa, Unitec, Desarrollo de Operaciones Mineras, Compañía La Cruz) y de organismos como las Juntas de Energía Nacional y de Energía Nuclear y la Asociación Nacional de Ingenieros de Minas.
Durante toda su vida estuvo vinculado ideológicamente a la Iglesia Católica. En los años 50 y 60 se aproximó a movimientos activos del catolicismo, participando en los cursillos de cristiandad y el Movimiento Familiar Cristiano. Su relación con la institución eclesiástica le permitió ser consejero del Monte de Piedad y Caja de Ahorros de Almería (finales de los 50) y vocal en la Junta de Gobierno de esta entidad (1960-1962). En los últimos años de su vida se acercó a opciones más conservadoras de la Iglesia, formando parte del Opus Dei y siendo vocal de Fomento de Centros de Enseñanza S.A.
Sus inquietudes políticas y sociales propiciaron su participación en las elecciones de Cortes, celebradas en septiembre de 1971, donde fue elegido procurador por el tercio de representación familiar. Tras la muerte del general Franco, formó parte del Comité Ejecutivo de Unión Democrática Española, organización presidida por Federico Silva Muñoz y, posteriormente, pasó al Partido Demócrata Cristiano, dirigido por Álvarez de Miranda; dónde formó parte del Consejo Político. Como militante y dirigente del PDC organizó la formación de la Unión de Centro Democrático en Almería y la candidatura presentada al Congreso en las elecciones de 1977. Así, fue elegido diputado para las Cortes que redactaron la Constitución, escaño que renovaría en los comicios celebrados en marzo de 1979. Tras la unificación de los partidos integrantes de la coalición, Gómez Angulo ya había sido designado primer presidente del Comité Provincial de la UCD en Almería, cargo que mantuvo tras la I Asamblea Provincial y hasta su dimisión en mayo de 1979. Asimismo, fue miembro del Consejo Político Nacional de la organización dirigida por Adolfo Suárez. Tras la desaparición de UCD, en 1983, formó parte del Partido Demócrata Popular, dirigido por Óscar Alzaga, aunque no llegó a ocupar ningún cargo orgánico. En este partido democristiano permaneció hasta su disolución y se retiró de la vida política.
Una idea que Gómez Angulo defendió en estos años fue la formación de una autonomía que integrara las provincias de Almería y Murcia. La propuesta estaba basada, sobre todo, en criterios de carácter geográfico y económico, y en sus conocimientos profesionales. La idea, que no fue apoyada por la UCD, procedía, incluso, de estudios realizados en la etapa previa a la transición democrática.
Entre sus condecoraciones hay que citar la Orden del Mérito Civil, la del Mérito Agrícola y la portuguesa del Mérito Industrial. Asimismo, fue miembro de la Orden del Mérito Constitucional. Casado con Carmen Rodríguez Padilla, en Almería (10-XI-1952), tuvieron siete hijos: Juan Antonio, Javier, Carmen, Lourdes, Manuel, Santiago y Jesús.