Violinista, miembro de la Orquesta Clásica de Madrid e hijo de Francisco Cuadra y María Josefa Román. Sus padres emigraron a Barcelona y dejaron a su hijo recién nacido bajo la tutela de su tía Filomena Cuadra, esposa de Antonio María Gómez García, alumno de Nicolás Salmerón, licenciado en Filosofía y Letras por la Universidad Complutense y propietario de tierras. Recibió las primeras enseñanzas de su tío, que sabía tocar la guitarra y el violín, actuando en público por primera vez a los cuatro años. A los doce años se examinó como alumno libre de los cursos de solfeo y los primeros de violín en el Real Conservatorio de Música y Declamación de Madrid. Poco después marchó para completar su formación musical con los profesores del Real Conservatorio de Madrid. En 1927, con 17 años, terminó su carrera superior de violín y ganó el premio de Primer Violín del Real Conservatorio de Madrid. Se incorporó, como violín primero y concertino, a la Orquesta Clásica de Madrid, dirigida en ese momento por el maestro Saco del Valle. Esta orquesta recorrió las principales ciudades del país con notable éxito.

      Simultaneaba los conciertos de la Orquesta Clásica con un gran número de actuaciones en los teatros de Madrid y, en 1935 se casó con Amalia Santaolalla, con quien tuvo dos hijas: Amalia y María del Mar. Al comenzar la Guerra Civil, la Orquesta Clásica se disolvió y Antonio Cuadra volvió a su tierra. Fue movilizado y estuvo destinado en las oficinas militares. En 1942 ganó por oposición una plaza de funcionario administrativo en la Delegación de Agricultura de Almería. Al crearse la Orquesta Sinfónica de Málaga, necesitada de buenos profesionales, contrató a Antonio Cuadra, que se desplazaba a esta ciudad o a otras andaluzas para actuar con tan prestigiosa orquesta, cada quince días. Simultaneó su trabajo en la Administración con una continua actividad musical. En 1950 fundó el Cuarteto de Cámara de Almería, que en 1950 se convirtió en quinteto con el maestro Rafael Barco.