Especializado en el campo de la escenografía, forjó su formación artística en Sevilla. Más conocido por su nombre y su segundo apellido, llegó a figurar así incluso en documentos oficiales: en sus cuadros y dibujos solía firmar como Acosta. Decoró teatros en Portugal, Uruguay, Argentina, Sevilla, Barcelona y otras ciudades españolas. En 1900 fijó su residencia en Almería por motivos de salud. Su primer trabajo en esta ciudad es la decoración del Teatro Variedades. En 1902 fundó una Academia de Bellas Artes en la calle Navarro Rodrigo, colaborando desde ella con eficacia en el arte almeriense del primer cuarto del siglo XX. Su Academia alcanzó pronto gran popularidad y prestigio entre las familias almerienses acomodadas, no faltando entre sus asistentes las hijas que no podían asistir a la Escuela de Artes y Oficios, por estar dedicada exclusivamente a los varones. Desde este centro artístico impulsó exposiciones en estos años de escasa actividad artística en Almería. Incluso, durante el verano de 1903, consiguió aglutinar en una Exposición Concurso Regional a artistas andaluces de valía, como Daniel Vázquez Díaz. En 1904 visitó la Academia el rey Alfonso XIII, recibiendo de Martínez Acosta un cuadro de flores para la reina madre, colocado en el salón de audiencias del Palacio Real de Madrid. En 1908 regaló un cuadro al Ayuntamiento de Almería titulado Campo andaluz, como agradecimiento a las subvenciones recibidas para ayudar a alumnos menos pudientes. Mantuvo la actividad de la Academia de forma regular hasta 1920.