Cuarto de cinco hijos, la posición social de la familia de José Antonio, de pequeños campesinos, le obligó a realizar desde muy niño trabajos humildes y pesados, como en una herrería. Buscando mejorar, su familia emigró a Argelia, donde Ginés pasó su infancia y adolescencia trabajando en el campo y de minero en Tiemcen. Hacia 1916 marchó con su hermano Ginés a Argentina, donde trabajó de albañil. Perdido el rastro del hermano, por cuya veneración José Antonio firmaría su obra como «Ginés», asumiendo su identidad, se trasladó a Arizona (EE.UU.) y allí trabajó como picador en minas de cobre. Viajó después a Los Ángeles, lugar donde comenzó a pintar. Hacia 1918 partió a Nueva York con el objetivo de estudiar pintura y escultura en la Art Students League, compaginando los estudios con un trabajo nocturno en el metro y como camarero. Su vida en estos años se convirtió en un admirable ejercicio de tenacidad y esfuerzo en aras de su vocación artística.
En 1920 regresó a Zurgena, pero de inmediato viajó a París, ciudad que durante el día le permitía acudir a la Ecole National des Beaux Arts, para continuar con su formación, y pintar en su chabolesco estudio de Aubervilliers; ganándose la vida en un almacén y como lavacoches durante la noche. En 1922 se mudó al célebre barrio de Montparnasse, conviviendo con los compatriotas de la «Ecole de Paris», en cuya nómina ingresaría: F. Bores, H. Viñas, J. Peinado y M. Á. Ortiz. En los años siguientes expuso en la Sociedad de Artistas Franceses y en los Salones de Otoño y de los Independientes. En 1927 compartió una exposición con J. Roca y, meses después, su primera exposición individual, provocando encendidos elogios por parte de Picasso, lo que empezó a consagrarlo. Empezaron a hablar de él periódicos franceses, ingleses, italianos, españoles y checoslovacos, así como las revistas especializadas le abrieron un espacio, hasta el punto de exponer con G. Braque, prólogo de su consagración. De entonces arrancó su perdurable amistad con J. González y P. Picasso, inaugurando una etapa de bienestar. Éxito y penuria parecen alternarse en su vida. En 1931 volvió a crecer su reputación: se publicaron artículos en muchos periódicos y revistas, y empezó a vender bien sus cuadros, a la par de ir formando una pequeña colección particular con obras de Picasso, A. Modigliani, A. Guillaumin y E. Degas, entre otros. Atrás parecían quedar los años duros.
En los años treinta regresó a Almería en dos ocasiones; la segunda, al inicio de la plena Guerra Civil. Su desaparición en el verano de 1936 conmocionó al mundo artístico de París, dado que había vuelto a España a luchar por la República y en contra del fascismo. Fue encarcelado, pero logró ser liberado y salir de España gracias a su amistad con P. Cossío. De vuelta a Francia, a partir del año 1945, su obra es más conocida en todo el mundo. Para su exposición de 1946, en París, su galerista tuvo que alquilar una segunda galería por la cantidad de obra. La cuantiosa muestra supuso un clamoroso éxito y se vendió entera. A partir de 1947 sus obras empezaron a figurar en importantes exposiciones de París, Londres, Estocolmo, Praga y Bruselas. En 1948 celebró grandes muestras en París. Pero le rondó de nuevo la adversidad y pasó otra etapa de estrechez económica, por lo que se vio obligado a vender su colección.
Retornó a América en dos ocasiones, ya como pintor, para realizar sendas giras en las que llevó a cabo exposiciones exitosas en Buenos Aires, Río de Janeiro, Sao Paulo, Lima, Méjico y La Habana, gracias a las cuales volvió a saborear el éxito. En vida, fue en América del Sur donde más admirado sería su trabajo. Volvió a París en 1959 y expuso con Picasso y Ó. Domínguez. Con la suerte de cara, fue generoso; a resultas de lo cual sufrió el último momento de penuria económica, agravada por la aparición de una enfermedad larga y letal. Picasso acudió en su ayuda, tanto en el plano amical como en el económico. No obstante, Parra no dejó de pintar hasta su muerte, que le sobrevino a causa de cáncer generalizado, sin llegar a conocer la existencia de la «Sociedad de Amigos de Parra» fundada, entre otros, por Picasso, para costear su funeral. El mismo año, el Salón de los Independientes organizó una exposición retrospectiva de su obra. La primera exposición en Madrid se efectuó en 1974 y el primer homenaje, en Almería en los años ochenta.
Parra pervive en la historia de la pintura como prototipo de entereza de carácter y ejercicio de tenacidad vocacional frente a la dureza de la existencia que le deparó la vida. Gozó en vida de la amistad y el aprecio de grandes artistas e intelectuales, desde Picasso y González al chileno Eduardo, el francés J. Le Moal y R. Alberti, que en su libro A la pintura dedicó un poema a la pintura de Parra. No obstante, a pesar de ser considerado uno de los grandes de la Escuela de París, es más conocido fuera de España; aunque de forma paulatina va ganando adeptos, hasta el punto de haber alcanzado el incomodo honor de las falsificaciones. Cuadros suyos figuran en museos tan importantes como el Nacional de Praga, el de Brno (Checoslovaquia), el de Boston (EE.UU.), el de Sao Paulo (Brasil) y el de La Habana (Cuba); así como en las colecciones de numerosos compañeros y amigos suyos (la de Picasso, entre otros). Hoy es el único pintor almeriense cuyas obras aparecen con asiduidad en subastas de las ciudades más importantes del mundo.