A los 12 años ingresó en el Seminario de San Indalecio de Almería (único centro de enseñanza superior de la capital), donde cursó tres años de Filosofía (1834- 1837), poco antes que su compañero y amigo Leopoldo Eguilaz y Yanguas, natural de Laujar. A los 15 años se trasladó a estudiar a Granada. Inicialmente se licenció en Derecho en 1844 y, paralelamente al desempeño de su profesión, comenzó a estudiar diversas asignaturas en la Facultad de Filosofía y Letras, obteniendo los títulos de Regente de Segunda Clase en Física y en Historia General en 1847 y la licenciatura en Ciencias Naturales en 1849, siempre en la Universidad de Granada. En 1853 consiguió el puesto de catedrático del Instituto en Ávila, de donde pasó a Jaén y, posteriormente, desde 1858, ocupó la cátedra de Historia Universal de la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad de Granada. Fue nombrado decano de esta Facultad en 1873 por el Gobierno de la República y confirmado en el puesto durante la Restauración. Tras jubilarse, abrió una imprenta en Madrid para editar libros científicos. Fue nombrado inspector de Antigüedades de las provincias de Granada y Jaén (1859), académico de la Real Academia de la Historia (1860), vocal de la Comisión Estadística de Jaén (16-VI-1857); individuo correspondiente de la Sociedad Económica de la Provincia de Almería y de número de la Sociedad Económica de la Provincia de Jaén y miembro correspondiente de la Real Academia de San Fernando (5-VII-1877), también de Granada.
Su trabajo más importante y del que recibió cumplido elogio fue Antigüedades prehistóricas de Andalucía. Monumentos, inscripciones, armas, utensilios y otros importantes objetos..., del que publicó una addenda (“Antigüedades prehistóricas de Andalucía: cartas sobre algunos nuevos descubrimientos”, Madrid, 1870). Su investigación fue pionera por varios motivos. De una parte, inició el estudio y descripción directa de los yacimientos, aunque siempre demasiado exigua como para poder valorar adecuadamente los hallazgos; incluyó el análisis geográfico de los lugares mediante la descripción de su entorno y emprendió la prospección arqueológica en la localización y dispersión de hallazgos. De otra, subrayó la importancia de una descripción minuciosa de los restos (que incluía su dibujo y reproducción a escala aproximada en algunos casos) y contó con la aportación de ciencias auxiliares, por ejemplo, el estudio anatómico de las necrópolis, introducido como apéndice especializado.
Su primera obra, sin embargo, tuvo carácter literario: Los dos huérfanos, novela granadina original, con prólogo de Juan Mª Rada (Granada, 1844, 2 vols.). Escribió, además, un Viaje literario por la provincia de Jaén (1860), publicado junto a los descubrimientos del ingeniero inglés H. Sanders años después (Viaje literario por las provincias de Granada y Jaén, Jaén, 1915) y la Memoria fijando definitivamente el sitio de la colonia saláriense (Madrid, 1867), que levantó las suspicacias de Berlanga. A esta pequeña monografía unió otras: Monumentos del antiguo Reino de Granada (Madrid, 1870), Discurso leído ante el claustro de la Universidad Literaria de Granada en la solemne inauguración del curso académico de 1871 a 72 (Granada, 1871) y A la hermanita Carmen y a las MM. monjas del convento de Santa Catalina de Zafra de Granada (Granada, 1873).
Langle informa que colaboró asiduamente en La Ilustración Española y Americana con muchos artículos debidos a su pluma; además escribió unas “Cartas” a Fernández Guerra sobre las obras de Pedro Antonio de Alarcón en la Revista Europea (1876) y unos “Apuntes biográficos del Marqués de Gerona” en la Contemporánea (1880). Volvió a la historia tradicional, creacionista y patriótica con dos obras que sirvieron de manuales escolares en la escuelas granadinas de la Restauración: Lecciones de Historia Universal y particular de España (Granada, 1878; de la que se publicó una segunda edición declarada de utilidad para los establecimientos de enseñanza de Ultramar) y Nociones de Historia General de España: escritas para que puedan servir de texto en los establecimientos de Segunda Enseñanza (Granada, 1880 y 1882).
Góngora atesoró una pequeña colección de antigüedades almerienses que donó al Museo Arqueológico granadino y nueve lápidas árabes procedentes de la capital, cuatro de las cuales pasaron al Museo Arqueológico Nacional. Uno de sus hijos, Francisco de Paula Góngora y del Carpio, fue el primer director del Museo Arqueológico de Granada, sobre el cual realizó distintas gestiones, y miembro de la Comisión Provincial de Monumentos.